Miniatury matematyczne 95

Komitet Organizacyjny konkursu „Kangur Matematyczny” oddaje do rąk Czytelnika już dziewięćdziesiąty piąty tomik serii Miniatury Matematyczne. Od wielu już lat przygotowujemy corocznie kilkanaście krótkich artykułów-miniatur o tematyce popularyzującej matematykę. Artykuły te, podzielone na kategorie wiekowe, ukazują się w czterech osobnych tomikach.
Tomik niniejszy skierowany jest głównie do starszych odbiorców, mianowicie uczniów szkół ponadpodstawowych, którzy interesują się matematyką i pragną poszerzyć swoją wiedzę.

W książeczce znajdują się cztery miniatury. Dwie początkowe obracają się wokół zagadnień arytmetycznych z pewnym aspektem kombinatorycznym — jest to wdzięczna tematyka, gdyż występujące w niej pojęcia wyjściowe są uczniowi bliskie i zrozumiałe, a problemy mają na ogół jasne i czytelne sformułowania. Dwie kolejne miniatury również łączy wspólna tematyka.
Jest ona tym razem wyjątkowa i rzadziej spotykana w naszej serii — mianowicie w obu miniaturach króluje geometria przestrzenna.
To niezwykła gratka dla miłośników geometrii w ogóle, a stereometrii w szczególności, gdyż publikacji z tej trudnej a bardzo kształcącej dziedziny nie znajdziemy aż tak wiele. Przejdziemy teraz do krótkiego streszczenia treści poszczególnych miniatur.

Pierwsza miniatura nosi tytuł O liczeniu dzielników i dokładnie o tym traktuje.
Punktem wyjścia do rozważań w niej zawartych jest pytanie o liczbę dzielników liczby całkowitej dodatniej.
Już w szkole podstawowej wyróżnia się podzbiór liczb naturalnych o dwóch dzielnikach, czyli liczb pierwszych.
Czytelnik, który miał okazję poszerzyć swoją wiedzę o liczbach pierwszych, wie, że tak prosty warunek jak posiadanie dwóch dzielników prowadzi do bardzo ciekawych własności. W miniaturze badamy liczby o ustalonej liczbie dzielników, a także sumę tych dzielników, ich iloczyn, jak również inne działania. Pojawiają się znane pojęcia takie jak liczby doskonałe, a także wprowadzone są nazwy mniej popularnych rodzajów liczb. Funkcje przyporządkowujące liczbie naturalnej liczbę jej dzielników, sumę dzielników i inne wielkości rozważane w miniaturze są przykładami obiektów ważnej rodziny multiplikatywnych funkcji arytmetycznych.

Drugi artykuł pod tytułem Między arytmetyką a kombinatoryką. O kwadratach magicznych opowiada o genezie i matematycznych własnościach tak zwanych kwadratów magicznych. Pojęcie kwadratu magicznego spotykane jest często wśród zagadnień o charakterze łamigłówek i oznacza kwadratową tabelę, którą należy wypełnić liczbami tak, aby ich sumy w każdej kolumnie, wierszu i często na obu przekątnych były równe.
Autor podkreśla jednak, ze terminologia ta jest umowna i na potrzeby swojej miniatury przyjmuje założenie, że tablicę należy wypełnić kolejnymi liczbami naturalnymi od 0 do n2 - 1. Okazuje się, że do badania arytmetycznych własności kwadratów magicznych przydaje się podstawowa wiedza z teorii podzielności, w szczególności twierdzenie o dzieleniu z resztą i tak zwany rachunek modularny, czyli rachunek na resztach z dzielenia. W miniaturze przedstawiono różne rodzaje kwadratów magicznych, a także sposoby ich konstruowania.

Trzecia miniatura nosi tytuł Kąty trójścienne, który również bezpośrednio wskazuje na jej tematykę. Autor podkreśla w niej, że pojęcie kąta trójściennego może stanowić trójwymiarowy odpowiednik trójkąta, co różni się od bardziej popularnego podejścia traktującego w taki sposób czworościan. Miniatura rozpoczyna się od definicji i podstawowych własności kąta trójściennego, w dalszym ciągu znajdziemy trójwymiarowe odpowiedniki znanych twierdzeń dotyczących trójkątów, mianowicie twierdzenia sinusów, kosinusów, Cevy i Menelaosa. Treści teoretyczne opatrzone są rysunkami, które pomagają wyobrazić sobie badane obiekty. Na koniec Czytelnik znajdzie kilka zadań pozostawionych do samodzielnego rozwiązania.

Ostatni, czwarty artykuł pod tytułem Wielościany wypukłe stanowi przegląd ciekawych własności tych brył.
Na początku Czytelnik znajdzie spis najważniejszych definicji i wprowadzenie przyjętych konwencji.
Następnie autorka przedstawia twierdzenie Eulera z dwoma dowodami.
W dalszej części, w formie zadań z rozwiązaniami, pojawia się seria różnych własności wielościanów wypukłych.
Miniatura kończy się rozdziałem o wielościanach foremnych, czyli tak zwanych bryłach platońskich, w którym przedstawiony jest między innymi dowód istnienia co najwyżej pięciu takich wielościanów korzystający z twierdzenia Eulera.
Również w tej miniaturze Czytelnik znajdzie wiele rysunków, które ilustrują omawiane treści.

Życzymy przyjemnej lektury!